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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 +.e_T)aU  
`1VQ*wtuIC  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. *`{ '  
IK:odsAsK  
　　1、三角函数本质： r6$pLJR`  
s\k`9J  
　　三角函数的本质来源于定义 4nL;r[f  
<Ok IO  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 I/w0{wbbo  
8$/MTUPM3  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 -4 {){  
A[f^eRJ e  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： 7+BpX]2)  
X A$Y[X  
　　推导： =GX.]  
2.x }/30u  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 {*s* qKC  
u5d 8sK(5  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) LZ2G1;05  
3g\<- =D H  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) [S7g5+E  
-E4Zq  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 S m&F Rt  
6 ,dfj=T  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） NHzumZ]v  
;m^!b!gC?  
　　[1] a@$yl  
P+)2II:vA  
　　两角和公式 }}!-KMyhB<  
hp`?sE'X  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 2t_g 6  
@pq+Rz&  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  EU 0)9X_G  
9"?! {p-  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB . \*va<  
lIC','_[  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB q[@x>n05  
8yFX%nzm$g  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) zmcvGCW  
St7%#'QQFM  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 9[5Z qT  
#S+qeQ{B  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  v)/ L[X"ul  
 8~}V  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) Un <Gjl< W  
kzxu :(E<  
倍角公式 EC= u-P  
,+Bx~[  
　　Sin2A=2SinA•CosA 7ooD;GY  
1;dz  |  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 #m cCK   
qR,TLR:  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） .P?ww@  
FU;o3-   
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） &~g>v>b2  
T#dR73"  
三倍角公式 +ruGJNCM  
* (#uW\u  
　　 vy? M/^>  
'[wD'#?%K  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) ]>}a,/sr8  
i={[pQqfx  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) KTS;=Qt#  
QxQ>/N   
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) fAt3t"bk  
b0$duvr~X  
三倍角公式推导 =>X^WoG  
w nN2c"x  
　　sin3a S<Z,s^V%  
Du).~8G  
　　=sin(2a+a) [OD`Z  
Z/! }6y$  
　　=sin2acosa+cos2asina SXs3sO}n  
30=#FsyO?  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina kq P,1Y)Bn  
Jh- @62 /  
　　=3sina-4sin³a O(k[XY  
N< O3M5b  
　　cos3a +-\D}pR  
%(5$z=p~t  
　　=cos(2a+a) uh!'|9!@\  
s@:;.oC  
　　=cos2acosa-sin2asina A\NXi9JM .  
.M}* ~G*wU  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa a]'IO*SlG  
~VJ(Y  
　　=4cos³a-3cosa }p]\ <)Tj  
I 0HN #+g  
　　sin3a=3sina-4sin³a '~%23Dcwt  
A7 yU'`Iy@  
　　=4sina(3/4-sin²a) Kh/xLWiR@  
5Y;e}  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] nA_:E/4S  
.U&.  ]$  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ]t$B4TO+  
?%?jc?g)  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) N<l$%i p^  
ZY"A0IP>  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] nHMj8R+5  
QR'$6  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) ~i.E5lx&  
*\<)<  
　　cos3a=4cos³a-3cosa Vb*dW|1D  
7e{_>VBNnb  
　　=4cosa(cos²a-3/4) '0R)bJ?%  
_*M? o  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] |/LrEE!L  
qxZ!@Yu  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) SV)4FdT9a  
&`NXPp>D  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) B]=P=zAw  
GW/RzKSC'  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} (sXI#E:/ox  
th 66tAIL  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) [z KoVl 6  
O~}QFAYbO  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] &sAtz]Y1  
*V ."X  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] XQ`_ =cT  
x#:eOcE  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) U8gm%}J|  
 O,'C%.  
　　上述两式相比可得 Fs_>h  
1Q=!=+:d  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) qti eKb5  
+U%|Rbr7  
半角公式 fSY-8"uhO  
Y0$KG j  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); FY")x.Q '  
9bW@*.e  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ~T'6]@~R1  
{ls77| t  
和差化积 &Kw2m=A|  
eVF`I1WgF  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 75c{|uWU1  
z/Q'Ca  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] =~j2D ` z  
ppG`qgYB|"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] > w=cL8  
a+>/@ <^  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] h_PJ=L":  
Q$Bu:S||P  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) MwSCv^_  
9dB|]z!Q7B  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) n:rk.B;jdY  
j@'LxPeqU  
积化和差 "-ThZ/  
cJJBv^)9u  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] wMT8pZu3  
EN'S-9Us@9  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] BN50gk5A4  
={wZT`F  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] dY>$J  
QK_4> f  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] @$PFEw~h?  
Ny0Aq$v)S  
诱导公式 ;HFXBYBT  
GU7~.OLP  
　　sin(-α) = -sinα  k3y  
O cSQ[aI  
　　cos(-α) = cosα l@Spxrr  
]%u `,9S  
　　sin(π/2-α) = cosα H-af b;_  
ir58f"@  
　　cos(π/2-α) = sinα } XR/d~)  
=\( W'  
　　sin(π/2+α) = cosα QEs;tJ`  
JyASrr%8  
　　cos(π/2+α) = -sinα Z-s\[T+H  
yV!v),y  
　　sin(π-α) = sinα k:z~j%Y2+  
?szLsFJc k  
　　cos(π-α) = -cosα P1:La  
S{Mjn64 j  
　　sin(π+α) = -sinα ]C.>FS-  
lf8DNI X  
　　cos(π+α) = -cosα 0#O}h8R-  
;+ht1+|  
　　tanA= sinA/cosA ':L FJ.  
(+iA'%z^B  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ?ygP%U  
gB[X f  
　　tan（π/2－α）＝cotα ?m!7>S]  
\A Ufh  
　　tan（π－α）＝－tanα 1[yS-]  
*R+s(=m8  
　　tan（π＋α）＝tanα ='ClD%(3  
L g7V:Jd  
万能公式 j#Zs)x$V  
$gPx{"zyR  
　　 i8zu>g-`  
Ehr]fV8ZK  
其它公式 GimwC&N  
OP:{oN1r  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  q6^k'x  
M/OUB* 4  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 s"gu85<  
D5EZ b`Z$'  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 8 [>Dx5"  
u6L1)@uF  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 2o)jDH;]u  
V^lXMu&#  
　　对于任意非直角三角形,总有 j]"} ci@4  
LD!=\(si  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC TVwv  
<{5',,  
　　证: =8o BhY[P  
l2z#R  
　　A+B=π-C Ar{x= k]7,  
Y)l f  
　　tan(A+B)=tan(π-C) kz$QY;#95  
p QCnN  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) AiKUkL\vP  
]1 k i/5  
　　整理可得 cas|"D,t|  
' X/'~Q  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC ESRYy  
p<kX8W  
　　得证 YD'SvUp  
npZy+.d  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ,t4sJQZE  
Qh.Q:/Z[  
其他非重点三角函数 b yyYdKl  
b]Xt\s)z%@  
　　csc(a) = 1/sin(a) =JM/tMQ.  
Vi T#kluY  
　　sec(a) = 1/cos(a) <{-fw5;  
vJQ3lvN  
　　 6ZEJh'  
0 uTE+{p  
双曲函数 gW9rh^~n'Y  
1k 61w  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 +o^ mcv, U  
Ah6_eU  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 :D )fw)i  
\PpivMt[Kp  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) o>+&y <  
>*@,6qk  
　　公式一： q6m$nx;M}  
#sjQ?F  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： KhzdvS9y  
(NqQ+max  
　　sin（2kπ＋α）= sinα PCJf4X^`E(  
k1y<|*F  
　　cos（2kπ＋α）= cosα ^~A`y<M  
F6&'EoR  
　　tan（kπ＋α）= tanα 9U;IwhIb0y  
WqJO2F$T  
　　cot（kπ＋α）= cotα G(!y$Z  
_#M_ ez8+  
　　公式二： Y rc(  
I[07%T'@  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： twfl\E  
J 4a^ @  
　　sin（π＋α）= -sinα \c\MEP7  
#A8KsOa-  
　　cos（π＋α）= -cosα 77[DfHXg!  
i5$-SS:G  
　　tan（π＋α）= tanα `7E n}I  
 7eA4 O  
　　cot（π＋α）= cotα ][5d.=  
70P m $5i  
　　公式三： 5xWW5\  
^*H z{   
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： ;_)P0v^b  
rm .&K;$a  
　　sin（-α）= -sinα v;K^Ss19N  
IhS2E?K  
　　cos（-α）= cosα C;D"%x9w.p  
Pc"4)hOl  
　　tan（-α）= -tanα -l{#K0  
pFm2Rk  
　　cot（-α）= -cotα AG0YY*AX  
96(-(z{ ~  
　　公式四： tp1 lV  
+j<3^ J  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： Z<coOowd  
Hkfm}/3!Ui  
　　sin（π-α）= sinα {Vrl*GT{  
'tST]J \  
　　cos（π-α）= -cosα X;0KKX  
*7|;=%aT  
　　tan（π-α）= -tanα (s]6$dO:  
Vl[$,_C%  
　　cot（π-α）= -cotα Dz&c5Jm7  
#B ? ~%CK  
　　公式五： 3;7C'o  
+KwO3Fo  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： :q^8. q?i  
,J=&d61y1  
　　sin（2π-α）= -sinα t;7I/fS  
OJ2+D|P=N  
　　cos（2π-α）= cosα MAUK_^[B  
uu95bAf'  
　　tan（2π-α）= -tanα KTjegATaj  
SP/;5T;JI  
　　cot（2π-α）= -cotα 7{P|<38jYA  
/nmq%`hD  
　　公式六： %!',}b  
+_T"QcE)K  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： z'}gdr?  
) ]G"m:Ts  
　　sin（π/2+α）= cosα *Of >;UwR  
/|. , Yy  
　　cos（π/2+α）= -sinα 3/*T8  
PB3<E*$<  
　　tan（π/2+α）= -cotα D&/OWY \  
 (f/ 6;ZQ  
　　cot（π/2+α）= -tanα 1=xo:hnz  
/aC{OH:;0  
　　sin（π/2-α）= cosα 3Pg.Q:l-m  
5>5JHq1U  
　　cos（π/2-α）= sinα H~?x= ]  
<+Q#[R+2N  
　　tan（π/2-α）= cotα ^3 AlEj.\  
\L+k?}&1  
　　cot（π/2-α）= tanα 3]N!;0b  
T$$$S6  
　　sin（3π/2+α）= -cosα Q"66.s9m  
-cEYJ_  
　　cos（3π/2+α）= sinα 5YU D:<?  
=YkZ${r*  
　　tan（3π/2+α）= -cotα 0*m4?@  
DOP'zzCh  
　　cot（3π/2+α）= -tanα `NVf WpJl  
h"wId!k  
　　sin（3π/2-α）= -cosα n 8y   
1 G,#8h  
　　cos（3π/2-α）= -sinα SUz@n v^Z  
%)$ gO!  
　　tan（3π/2-α）= cotα ATQm|[J  
C-<ec4pJ  
　　cot（3π/2-α）= tanα y S+~}|{  
U`TfEY[  
　　(以上k∈Z) (!]i 8  
B {0l\E  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 !ZuWGng  
Ru?W{XX  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = C%eM C@g  
} $F?)p-'  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } E"v_!m  
u}9:?8V&Mg  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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