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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 L!AEL Z  
/ t0qwnr  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. yNw=',*  
Zo-dK [c  
　　1、三角函数本质： d}.j.kM|  
 ~G2]sPN  
　　三角函数的本质来源于定义 bASYXUt  
cjh[:f($k  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 G;3eJy0.0  
2}4_M0$  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 d8CBAM;m  
>_Sq3 {,f^  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： S 3iy4^O  
l^L}DJ(m  
　　推导： T ~jf=ZK  
;hBQ<Aw~8  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 *`17uu{8  
'b&:Tks'  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) HlemWVOX  
?W~eVj  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) VC{J.Wf+h  
~"S\Kzg  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 *`}<s-  
T`TnU;_  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） @+UUq"0  
p}T\:RT\  
　　[1] ; z4 %EJMY  
h_;@u,i,Z  
　　两角和公式 't1 O@[  
\k.:]i8?  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 3]2Wo-!qp.  
ni\9LS  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  D:#FjhAW  
TmJIO+yx  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB $6oiH 1E1$  
)a_'bl  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB (k4^Lqb!  
?Da lI#>t  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) AfBA1|N  
:|iMbf  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) ?*cPQS- G  
vg=o6F%Yp  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  R2 $q 5 rv  
1{e@\L8  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) *5ad#5   
1>$Y *BX_@  
倍角公式 v[R2cSmRT  
(XCJBmv ?_  
　　Sin2A=2SinA•CosA : Xiy1v}  
8NV*L-*i  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 o,82mj #  
p>4jzMw   
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） FChhvHCJ  
Q83K.]2("w  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） Y-@_Z \  
+f+-2!Yl  
三倍角公式 _Jt>  
! /UQ55  
　　 l(MKsq, Q  
)+\:_3`  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) #.A"+ B  
[ a hD73k  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) \c&  
W85S[Sk:  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) xm.'r<i  
DJl-8~KW  
三倍角公式推导 MF1`+`g  
8^!(\Ug2R  
　　sin3a >[DX$  
) <t@^jx  
　　=sin(2a+a) SK \K@-  
:cHpxQ*!;s  
　　=sin2acosa+cos2asina NR6*uIOY  
sdnFS"z  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina %;M k&  
^jayJ=T'D  
　　=3sina-4sin³a lhx 6J k4  
B|pMMY  
　　cos3a wJ,"v# $~d  
)Q~YKs{da  
　　=cos(2a+a) 9Yja&$H>  
j7W\4n6U  
　　=cos2acosa-sin2asina 7f'(I/c~  
AwcRL]!?  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa Q{JN<9  
+7@k![  
　　=4cos³a-3cosa oFJO "@  
 d?s+It  
　　sin3a=3sina-4sin³a F}*9UG#  
,dJ]0vMYF~  
　　=4sina(3/4-sin²a) an+!7B  
'vs Bc"6  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] dkZ {S'  
gF;([a75  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) >8IABE{I<  
Zh?@Ai{K  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) LF ubr#5z  
tSCd{ziw0  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] r\%9/J  
lai LlZ  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) <r&/:"8  
Y#q6`HT  
　　cos3a=4cos³a-3cosa {9CD8rM$  
1([@\zf  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ~ x&\yj  
I5)*M4Y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $RR6h~G  
)GmlKPl  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) 'G,oFm@  
<U#`i  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) a9|=fL_l  
P3Zy%jr  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} g347ap3 ;  
?UDC.l  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) .se{Mc  
g'n<KO r  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] -$!\.I%Y  
8Bnp K"  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] %0/9`C^qH/  
/U]tW_m^v  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) UBmfmXG  
epJ_l?Q`  
　　上述两式相比可得 4y$SRt &  
ayL.gi}  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) < LRL[e%J  
BO-MLsg%;  
半角公式 l]^ emC!  
.Ca?q_DW  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); <', :%l0 *  
EO X1J  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. diOH1:0=7  
L`-ld]Ha  
和差化积 s(agO~@  
rMk_1(Deg  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] +>{\{Y+Y  
@ ={Zb$v:  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] q?^ ^g,0L  
h[P{B<y"  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] wOEEBRwC  
! JE%Qp2VV  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] :wD \%  
 *1J3)  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) kf 9w~  
v6n'B1;ZA  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) lfej\6loK  
TM&#q2 m  
积化和差 s#1.~E  
8+=kKPDe  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] n@{=VodD  
y"*96;nr*;  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] ;ohP]h1cuC  
jWI~MHF/  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] _ $1Pc<G  
\Tx;<@O<  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] q_c61[Ck  
e /F7_)T%5  
诱导公式 /-qA  
%4 mt, P  
　　sin(-α) = -sinα #/O[J  
-rUs"hXXP  
　　cos(-α) = cosα :4mrx]  
SuG@q&l[  
　　sin(π/2-α) = cosα =;%Qz9S  
W@\+N4X  
　　cos(π/2-α) = sinα  [!zHC  
*k{xA a&  
　　sin(π/2+α) = cosα BDd<t#NC  
-jDH9nvJ  
　　cos(π/2+α) = -sinα '^G$E#  
"LhA^_  
　　sin(π-α) = sinα `KM )) d  
URj|XmK  
　　cos(π-α) = -cosα jxK5o;M  
8-(QRtEW  
　　sin(π+α) = -sinα  S{!J&  
0c1V3>l&  
　　cos(π+α) = -cosα a `?8kY>0  
xP erT=I#m  
　　tanA= sinA/cosA Z<HrE&=  
l`@fh{t  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα .s7Yw$  
P3^iJ  
　　tan（π/2－α）＝cotα |}"U/|;'  
bsN}VAo!wV  
　　tan（π－α）＝－tanα 1Y 8Z+  
^-jCpT%T$  
　　tan（π＋α）＝tanα 0Z v\aL  
%Mh>T1EhT  
万能公式 iHj*k ]  
yHBk c:hH  
　　 yk {5vCzQ  
vZ+D5spk,  
其它公式 h(Ek9"C3{  
V;l$jqF  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 mA z8B$`  
6f.-"T  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 w0u/B),x`I  
/Mhp>D6  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 Ifm!5+  
xC4Wu .|0  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 i7pfA5+9  
[>K]7gpQ  
　　对于任意非直角三角形,总有 dv+N`M_Z  
;|bMd:  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC L}v^Nb)+  
V<mko0vC8:  
　　证: }0 WG#  
\ ]Xf X  
　　A+B=π-C foLuc }pp  
4*02aQ~n]  
　　tan(A+B)=tan(π-C) X~ m;~oqi}  
l <D:N"@Q  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) eE;^Y<UVZ  
@)bZN2r  
　　整理可得 ha^+u^^Kv  
@`pg `N  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 2JADO  
b+8[*n.`  
　　得证 -O>VF4 6  
;!I6Ay`U  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 o\O.m  
l]D;o {x#  
其他非重点三角函数 >EW2}A9P  
nGK\64kG  
　　csc(a) = 1/sin(a) QF;0S\  
/e*\3 5  
　　sec(a) = 1/cos(a) gk  [\3  
O~%&K'KD  
　　 L iQFIt?  
{22KC  
双曲函数 +U6+C?   
_rR7_`6  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 'Yv^\ Q  
=!Te0L6  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ~dbcWXPk  
P"Dh$=xVO  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) o^e6Ycs  
!J^+\3YB&  
　　公式一： ~Y%mp*[<0E  
.C=MMvL}}=  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： Np NG\y|  
B&=PV. <K  
　　sin（2kπ＋α）= sinα B`KH:0fx  
cv 3H1  
　　cos（2kπ＋α）= cosα f%n Q:Ow.  
Qi'.h  
　　tan（kπ＋α）= tanα 1 fVhoY  
FO1tc4@.  
　　cot（kπ＋α）= cotα 0q6EJH<+  
T)_Y+ I8r  
　　公式二： /A-"758  
]L= d  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： H$}pEEm~/  
+.I)}rx 6  
　　sin（π＋α）= -sinα =*H,h.'  
\BdpO`4  
　　cos（π＋α）= -cosα J`-QPKAy  
lRx*#y_#  
　　tan（π＋α）= tanα gO3kam  
1W3QH@Be=  
　　cot（π＋α）= cotα vrPm$3wzy}  
5\! _t>  
　　公式三： F} =vd  
J?0#eix0t  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： _Xu!IDz)  
nABk]>n  
　　sin（-α）= -sinα ?pMNt.H)  
K.|Y_Fd  
　　cos（-α）= cosα uGe j ^DIY  
ZQR(  
　　tan（-α）= -tanα ;8KX5Oj  
*<}y2d%]  
　　cot（-α）= -cotα Mla|p'  
/l-5O[zpC  
　　公式四： A_s7_B?C9  
1lUI h{  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： G ym2$W&N  
{2<= C,!  
　　sin（π-α）= sinα b:kfex  
cQ<:-  
　　cos（π-α）= -cosα %F2./.5FTq  
s*Lj~I  
　　tan（π-α）= -tanα K$l\Dp  
!A7}co  
　　cot（π-α）= -cotα !xy>,WG  
BgS Ae;  
　　公式五： :^l]uE  
0V~D3  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： Cr8_$,&A  
{8]LG] <C  
　　sin（2π-α）= -sinα K2$JV @HM  
,IU"ckiF  
　　cos（2π-α）= cosα -kw8#H>&  
kx^Lrd5d  
　　tan（2π-α）= -tanα /R%O)Up  
GQT/BLt  
　　cot（2π-α）= -cotα @T+La ^N  
#1y0F!DQE  
　　公式六： ~EZFKXyp  
z'tpT26?}  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： :3 ]&bDXm  
&>7P.E>cx  
　　sin（π/2+α）= cosα jycmeB!vg  
#|.Yi|_a  
　　cos（π/2+α）= -sinα 5G[)% $  
,5hx|  
　　tan（π/2+α）= -cotα 1=<{ ?%  
n^ ,q:- P  
　　cot（π/2+α）= -tanα )~_'S)w  
xJ;7R?2"'.  
　　sin（π/2-α）= cosα ~ ;}2`S6  
m2ISzZ  
　　cos（π/2-α）= sinα n hKBy~;  
Fv<jK  
　　tan（π/2-α）= cotα U`v&2WVVa  
z aXI-+  
　　cot（π/2-α）= tanα k;j[bzs|  
+i`>~(H}  
　　sin（3π/2+α）= -cosα kzh&d8itl  
xbjc <q  
　　cos（3π/2+α）= sinα F+I%>VSy)7  
jJ VM|O0|  
　　tan（3π/2+α）= -cotα Lm>:%)  
3+G!(fo  
　　cot（3π/2+α）= -tanα 2 <S|fO2j  
"^hed%ph  
　　sin（3π/2-α）= -cosα |;jzi,8Kc  
eB60Pf)*  
　　cos（3π/2-α）= -sinα (vP :=P  
,%2D   
　　tan（3π/2-α）= cotα Q0#uD0K  
+i#b m;  
　　cot（3π/2-α）= tanα u{<g7Eq  
n#7 !uYK9  
　　(以上k∈Z) W\92cMKR  
tG._sD\  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ->N j*9F~  
-xV X"  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = jPAkks^}C  
4w ]SD!  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } PVJ5e=E  
E&)v-!xld  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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