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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 #mCod,^S  
Nxy0qyP  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. egEQ JFR  
l@7wO-%  
　　1、三角函数本质： }OIbf67@G  
S@H!dIusi  
　　三角函数的本质来源于定义 h{mjNj-}^j  
fS0:27cc  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 *XJ<%YO  
~)49lbaS  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 y=!SXwm  
:13tUvgO  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： Z}A37F@  
xa5$7uY\  
　　推导： hW9V`oa  
",?6'P`8|3  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 io4v0^4?  
?4r0/?}  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) M~(2RnX+  
5Z@:Be*  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) }w3o|CTT  
|1 64}z  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 ' <ju.qR[)  
GXUBWM`J  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） cCSC0-b;f  
{?X5V:VW9  
　　[1] #H{JyyLy  
^7D+ zB3  
　　两角和公式 /E!7X39B  
/'WL`j|]E  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB  5iEzo  
e6k1Pp  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  pp22y;$  
xi2d_yEu 0  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB o@UP 1G@\  
 6aw4q+  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB Io3o{Gdk  
W> }cvqA  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) 9NhqoG<  
3OULSdYJ  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6SX5t1-j  
RPx; ^i  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  }DARrp>  
/wz'6T,G  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) |q7(wm[  
LXT`db(  
倍角公式 _qIj^1NJ  
o>6Rx4Ny6  
　　Sin2A=2SinA•CosA hES6)sL  
wk$r= @O  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 }".4/=3R`  
S-o:XT  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） b0mmE'Ll  
ZykU~X$]+K  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） CXjqRW>{  
yQ:pf0i  
三倍角公式 6zR65F  
dHwB}_W4;  
　　 !, QP1|u  
L:PG6S !"  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) tI{D wyUq"  
xA@M$KZ]  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) 7wqtGT]c  
n"p1y^p8  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) Jef}?Qen]  
laHVJ"J  
三倍角公式推导 {9%or<`W  
1Cip!iVg  
　　sin3a R>nSbm  
"$%>)4X  
　　=sin(2a+a) v!1iipW  
BT( BD88  
　　=sin2acosa+cos2asina [I?<zzQk  
/Qek=4Zng  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina K'5>;,)  
Y<$EjfL?t  
　　=3sina-4sin³a Tw}$-Gj}V  
1}pQg]y  
　　cos3a <1l5Vqf^3  
\Ua"yDo  
　　=cos(2a+a) 6[qQKu  
4T: X@xW  
　　=cos2acosa-sin2asina GQft3Sg(l  
Z;bUvLC 3  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa `!M O=7B  
G 1 aH @_  
　　=4cos³a-3cosa gz:c"F"5 Y  
 a)v<  
　　sin3a=3sina-4sin³a `_XRM C  
s3tsmMN  
　　=4sina(3/4-sin²a) Fm.'   
@h>^f:Xe  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] ~YT {T23  
h!uG43 ]lv  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) Yu7 {y8=  
ipSHIR  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) (ugcxeGB  
ev0s4`Ofo{  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] LJ++OV-{?  
[2JUw`  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) BSS;!VF  
X0* AETr~  
　　cos3a=4cos³a-3cosa ^IoY?&Z_W  
W_5iGAbi}0  
　　=4cosa(cos²a-3/4) '22)mzob)z  
>R'Vxu`v  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] $5oQm  
R}=tyS  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) \J};2z  
iS1i'SI;r  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) Nw.%SHmD  
le<Q*U  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} &WTtcqw  
&`^c1SIB_  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) 2Ug(gx'  
LNj |V_  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] LiC E4_  
{}_ J!)\  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] @,%Kgp e&  
-8qE:dL  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) sbz2|2  
+R|5%|  
　　上述两式相比可得 *(<aOz@N2  
;x,T|<R  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) /t -~v/;  
Ul%}dd8uZC  
半角公式 hviGE3R+h  
&%!a4^(3  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); x7^ U\fXs  
Q,g  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. C{gZG|8  
VY;,y&%+rC  
和差化积 7;jm,pY-  
kJR]bL.&  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] :lP1Sf'  
Ga|Je](*M  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] sqvgtr r  
H)^g(to  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] zb:#TxF  
TV|>S(0  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] Z4}A)o(-  
U\J[Cb[b  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) " gLn N@  
2vk90{]P  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) (dbMS$  
^u(:E z*K(  
积化和差 l4?;  
~GSl* AX"  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] i|t=a{ 6.e  
F@K l:/5,  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] uw_<YjX9  
H':vwy%unP  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] B r.@5yN  
k5t4}u&A  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] Z~Hx  T4  
e[sI0Mkkv  
诱导公式 )cPx4d@2q  
`Sk0#6Iq  
　　sin(-α) = -sinα nw[AejA,]%  
4?{i !m  
　　cos(-α) = cosα n:r=y[lxZ  
]2])S<n9_  
　　sin(π/2-α) = cosα NnMsXiX  
Z moUL(nd  
　　cos(π/2-α) = sinα ZQ#[z+)  
&lI5Q7N!  
　　sin(π/2+α) = cosα Z?I}< G`  
nau[kj=  
　　cos(π/2+α) = -sinα YZ"<{Lq  
"1ZpkXi2  
　　sin(π-α) = sinα E&;#V-:r  
q _Yqcm-  
　　cos(π-α) = -cosα (5qmlE`:o  
kMz>AEM  
　　sin(π+α) = -sinα PY;G B%  
Hh%~c9r  
　　cos(π+α) = -cosα ^BE>(q1(  
Xq[xcA?{  
　　tanA= sinA/cosA AuRWp  
\ZLT14NENq  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα ]Q2n   
E`%XVu(22  
　　tan（π/2－α）＝cotα { .,K1u  
1VVzSHbo  
　　tan（π－α）＝－tanα d t(^D^ !  
#u(^1\FG  
　　tan（π＋α）＝tanα s.N!t8  
SQWU%vAa  
万能公式 iGa+\bl  
[/2w8`.  
　　 K}9+wrRP  
3S@ i~ y_  
其它公式 +btj1QcJ  
`g7"9uW  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 [w\hql  
8F) M<C  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 L`yH amZ  
(}7Im(u  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 vtFC'=d  
yR S#@TD  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Z?E5~K3/:  
kI;'n/]  
　　对于任意非直角三角形,总有 pMZP+w?N  
E(h9N%+$  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC De2`EOYa.  
enU cZ l  
　　证: V<D=``-E^  
W|ODiLs:  
　　A+B=π-C UQd?y`J  
v~:9}0bOf  
　　tan(A+B)=tan(π-C) H\N~^]A5U  
3(XiJP3  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) :rN)j>"  
QPS-FWz  
　　整理可得 :P&WrH  
iZ18x7Hx  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC UJ- @)`>%  
"~ViIOfH~  
　　得证 z[3&7JH  
{_/ IWEu  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 D0Ikf7l  
uf<=khdG  
其他非重点三角函数 c+I@ Jb>  
L*%|d.#5m  
　　csc(a) = 1/sin(a) ?@V+U'p11  
zvt Jf3  
　　sec(a) = 1/cos(a) %vP;}{`  
yV>n&N8  
　　 ."qf*A+  
J5En`I  
双曲函数 |#X@hH  
|V ra$I;  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 Dw*-}YR*  
fWuCWnRXu  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 lb3w{)US  
1*9<AE(D  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a)  T/&/"x  
C0o>i 3  
　　公式一： 3 yV5)5_;  
YM^7f_~_3  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： %j)dQ0Lb  
9'7m  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 6"bJnQ`v  
9XbJzW+ ?  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Z$V5O@^=  
RCPB3t?T  
　　tan（kπ＋α）= tanα (@j),;3  
&]j]9//&  
　　cot（kπ＋α）= cotα ^bi\gE  
o =Eu-5#  
　　公式二： q0;K6cT  
4&x#14_  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： c(b5p+ i  
J f:}J-  
　　sin（π＋α）= -sinα Qu,*_   
,\V9&"18o  
　　cos（π＋α）= -cosα cA?vS `  
TQ#)V!  
　　tan（π＋α）= tanα pV 5j5(  
^UD|nf9&6  
　　cot（π＋α）= cotα 8W)u%zUiC  
bx%i{>;tOq  
　　公式三： 5N@J?gq  
f~!f0(qY=  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： C3e0CLN  
WQhJ.w}  
　　sin（-α）= -sinα q )fCbr<  
_x^CxEjQ:#  
　　cos（-α）= cosα O/V :|)]  
[J$U! ]n  
　　tan（-α）= -tanα D_OqL eV/  
u5.;cI5E{  
　　cot（-α）= -cotα JxF LxYo  
cV`v57Z  
　　公式四： yq8AeU  
Tr3/T 4d  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： 6GHySbYzs  
447SX6ZE:  
　　sin（π-α）= sinα WVS+cPk  
P>Vo%v1  
　　cos（π-α）= -cosα 0hkZz{ 8  
I__85}[  
　　tan（π-α）= -tanα RaJ G+|FL  
/6`W>m >{  
　　cot（π-α）= -cotα 1Bd?>j  
ui"6yC7sy  
　　公式五： LK1Pf  
"xQAMSv  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： X5fV fj~f  
XGdjT'+Q  
　　sin（2π-α）= -sinα {fX$S#  
(` NU?Nm  
　　cos（2π-α）= cosα CF?,~b e  
WRL?1bRA  
　　tan（2π-α）= -tanα xC+9cD"$  
A~(^7t S  
　　cot（2π-α）= -cotα _7J>[]:;  
Ew_0ZNu#  
　　公式六： ZG<P9 s+  
n` &$?[  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： )VoH4B0_d  
o7`?w)  
　　sin（π/2+α）= cosα Y*= #P7+  
K'R5E,  
　　cos（π/2+α）= -sinα &}7DN5kh  
 X7c7HG\  
　　tan（π/2+α）= -cotα ;?rpyC8  
p-W$_,fV.3  
　　cot（π/2+α）= -tanα 4%}Scj  
xoz\\  
　　sin（π/2-α）= cosα p:k)Ff:  
T|zILV  
　　cos（π/2-α）= sinα FB0/7p;K  
tF6Pu  
　　tan（π/2-α）= cotα A=_=zp2Uo  
g]AsVdJ]J  
　　cot（π/2-α）= tanα XTX0 <.y*  
/YB0#Pq  
　　sin（3π/2+α）= -cosα &G(,sl/$IK  
~IL>y96^h  
　　cos（3π/2+α）= sinα 'nH~:knk  
3T-v/6<F  
　　tan（3π/2+α）= -cotα k{VFZ 9  
Cg7-0  
　　cot（3π/2+α）= -tanα ;F`pJ3As>  
pJWJ\Ya8q  
　　sin（3π/2-α）= -cosα +-pU~ZcO  
q#Q _d)  
　　cos（3π/2-α）= -sinα NyK?q Re  
`.f%{zh/  
　　tan（3π/2-α）= cotα lw+cdOU  
%J_;1N}  
　　cot（3π/2-α）= tanα Oc|OND!H5  
X31)MRp  
　　(以上k∈Z) 2&U:._h2  
e1c` %|9  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 c /8SCmZ:{  
gXo)&mR)  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = 5/n?gG  
KJ:dRY'P  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } I&9 G12~#  
r?iChWi  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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