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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 ?"e  
$shhdl|  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. #QLu#0PNC  
,>K1  
　　1、三角函数本质： LJnDuo  
p(&1j`Ou<  
　　三角函数的本质来源于定义 1WA:i6B  
i/lBjN4d  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 T{bP?Sd  
"<hv[wEg<  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 $L9xwy  
k -149,  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： U+2a  
EwPD34"  
　　推导： /<R9 @d  
^!?C.4(@4  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 ikH.2wd  
Yc:^ r<  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 6\-Il@3s/  
!OK+9r|OB  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) |G0.%a)-H"  
PB3#Vq(p^  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 I,>6qo  
xNDT'PX  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） d[),&T<  
0y}KQ9  
　　[1] <02{"h>p  
*' 7z1<n  
　　两角和公式 %AzM\S4  
0d4 %'b+]  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB \8T:);H_c  
f$|7_`yP;  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  r%?sHO:~  
Pi,}mUlXX"  
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB OC%$4a|X[  
F//vFr5  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB qI _ O7  
BkFk[  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) XGABqxRF  
VEh4]kT  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) a@C> $#8  
bCPYw3I  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  X 6k 4E#  
Sd6&@#  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) $kYWR_['  
.pL> X|  
倍角公式 1{W=n6-Z  
*/.!5N?"  
　　Sin2A=2SinA•CosA 7DWw"l  
t@Ddmnxk  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 ]^6{ =K  
g?"G2V%iFU  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） _07' D  
$w.9o0  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） s 8%_[%+  
EUu%I.A  
三倍角公式 f"> jG2A  
'Fo'~7=]  
　　 3P EYkS  
<9 <i  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) N@82HZq[  
hF:fE;xzL  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) #9E{T$%  
:\ Rc}f:k  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) l.Y;WoH be  
qqG)pv  
三倍角公式推导 .brJG$@lA  
YnV=7'n_  
　　sin3a b|rA f9  
"2/$h;S  
　　=sin(2a+a) =WB1|Vo  
p "4@h ?  
　　=sin2acosa+cos2asina %],O@8}H  
t;? cd  
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina  uCj,S   
efD=ZXe  
　　=3sina-4sin³a G3?_0OG  
#wT/ cy  
　　cos3a ]5e8JXDN  
'tbCv?7  
　　=cos(2a+a) 6_P8;  
wS>^g:6  
　　=cos2acosa-sin2asina xI&;qxc  
0e/=+l0g*  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa 0O >e=  
_a9)-b4Q  
　　=4cos³a-3cosa F6/f08:q6  
>D\= Z  
　　sin3a=3sina-4sin³a 4uD 3x{  
R4.b9cE3T  
　　=4sina(3/4-sin²a) _S I*j,  
v"AD^S%Q  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] 5}0uAT;  
#VC1*Vc=  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) ^?~13Ou{  
;N L^j{O`  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) ]Y%;q025{  
OWleejy/c  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] <jUaV@?%  
;2RM! 7X'  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) }Y%nC`r5  
;l1.C% m{  
　　cos3a=4cos³a-3cosa H$Y8*/  
c5x0'#=+}H  
　　=4cosa(cos²a-3/4) <z/\  
n0 s79D  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] !DTg]H4  
t %sd!  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) ,hA$vViIIz  
 hwaH+  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) i &>>W7K  
pY'cz  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} ;?`GZN;  
e`6odXH  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)  v_"&F  
<V"#0*q?  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] ZY4q1\8  
5r!!xZ h  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] ;ES!^SSw P  
i2d"_I=Ux  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) yj2*%Cne  
@2B `d0  
　　上述两式相比可得 BCDf1i>?  
4n#JK  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) ><R<O@  
Q1B}vb,  
半角公式 ^v 1n ~  
;}+4Za  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); o <lnYp{[j  
*UW8Sd}w  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. <S=lg<  
]hvLA&  
和差化积 }vl25W,?  
wec_,A=a  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] sr2=b0F cK  
ZW .%@]uV  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] jlH1mu @  
UV[h9  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] bzX5gP   
P^(qTbfe(  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] 6Zc^m$ U   
M BFxD  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) =W[( fa]  
\ -yhF%   
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) bu|MUG|&U  
u4 21E7O|  
积化和差 fi#,QA\  
u5yUd4;  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] zz[[F&/;  
?ky><d.~  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] d z91VE<  
$8j:[ qtw  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] a -bt R/L  
(|JWZJqS%  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] &E^qti%  
nGL=c)=  
诱导公式 h'z*-V/gZ/  
2v vg\  
　　sin(-α) = -sinα OqTlKy1S  
!'" gMij  
　　cos(-α) = cosα _n65 Pk{m  
TtD2J,j  
　　sin(π/2-α) = cosα EOgG1E!@  
ygC *[AWr  
　　cos(π/2-α) = sinα _$lKT6qhh  
sx-xz,(cA  
　　sin(π/2+α) = cosα jL>GSxt  
gK$?v4cR+  
　　cos(π/2+α) = -sinα ,_h}]_=  
1Kuc]#qU  
　　sin(π-α) = sinα .~RSIZ$<  
\2j=#}0O  
　　cos(π-α) = -cosα CXc%\[rJD  
Aw, K)w8da  
　　sin(π+α) = -sinα dwl>~)^`  
(YEA ubsF  
　　cos(π+α) = -cosα PWY@n#<:  
tR1M"Ov@<  
　　tanA= sinA/cosA f4#Zf.)  
eUX@uT{`k  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα B H@LD  
45Nk*U.2F  
　　tan（π/2－α）＝cotα wiL1=.q  
%kiJ"0XGT  
　　tan（π－α）＝－tanα O$lz{(u-X  
O l?p=yC  
　　tan（π＋α）＝tanα .=P&Liy  
`DGvu>yS#  
万能公式 nsg`UU\R;  
QIUU$  
　　 ?Q7 #o  
.=Yy] :  
其它公式 _ZluxJ<by  
:PQ CaLN  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1  m_TCY}S"  
r,f+Igg   
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 mP[+*D  
I^}%|G  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 "U8q;|#.FA  
'UzH?Fod  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 Sn `aV  
M:DK5^ WE  
　　对于任意非直角三角形,总有 CfX4A"  
tp 5TAt  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC xzk<SjI09  
s;#J"q4n  
　　证: 6noIx)"%  
LL9CsI7  
　　A+B=π-C K.G.=;U1  
q6`P# w<  
　　tan(A+B)=tan(π-C) R_:YfS O  
rudTk`Hg  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) `3Kcs]S  
XArkRM\-M  
　　整理可得 j=aOc0@mf  
,~C'dIGv+  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC _MRk8 PO  
haevU CR  
　　得证 Q"w?[ TJ<K  
P1F? ?xaME  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 ZmzaM  (  
p}98r,  
其他非重点三角函数 smP#@?)1  
9z.&'$0N  
　　csc(a) = 1/sin(a) <7]cr_v  
x4FY\an  
　　sec(a) = 1/cos(a) :)0bM  
O/30BY*{  
　　 eR]WPWa2  
Ntm%Sdd.QW  
双曲函数 -f%BVVh  
p|WT[m  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 yFA'1$MW  
_?4 ==?  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 ,1oF<+.H  
H1~=5VkG  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) ;SfZ/#8lA  
>D`L+p  
　　公式一： NN>WQ7  
oilHeQU  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： C8=Q<<S<  
;,f#?X %u  
　　sin（2kπ＋α）= sinα n4U'[l  
N.B+S1My  
　　cos（2kπ＋α）= cosα Znp^^N'qd  
Hb&m! Dd5  
　　tan（kπ＋α）= tanα \>)9H50X  
TPcfwPZm  
　　cot（kπ＋α）= cotα fB~`gjz&  
3H N(,p9]  
　　公式二： q6`3CC{k  
A$M'aF&+  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： oMHH5cn  
q(p/[8{DD  
　　sin（π＋α）= -sinα ,2%AxzY-5%  
Vc!^B;f  
　　cos（π＋α）= -cosα 9:~< 2Q.  
R{x `;n\  
　　tan（π＋α）= tanα '/IW%qu.  
xg 5dC}f8  
　　cot（π＋α）= cotα _>(}b  
wwf$HZB  
　　公式三： 9sQI/MX  
8^B*&M>P[  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 0v/iMuG  
=57HT<ee!  
　　sin（-α）= -sinα <kyp,w.7y  
X[hwJ  
　　cos（-α）= cosα mZ~Wiy$w  
wa yg!3R  
　　tan（-α）= -tanα R~v~]Fg4  
.G& tq cP  
　　cot（-α）= -cotα ve+q[#m  
Qb ;[>  
　　公式四： @) 4xp>!`  
~c &Jbd  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： $Z }2TTS  
JS&; $=  
　　sin（π-α）= sinα CC7nV\!w  
Loy Kbn  
　　cos（π-α）= -cosα |jnl$  
iMcUAw  
　　tan（π-α）= -tanα ~[;=)dy^  
P+&76WBq  
　　cot（π-α）= -cotα ( =\#8i  
}0s(59C8  
　　公式五： \s SAkTr<l  
>B^^ m   
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： 1 "- /-  
X 2-*Q@G  
　　sin（2π-α）= -sinα /!t*E!q_  
D.+c^Kk  
　　cos（2π-α）= cosα E(?k|bG{  
W_:<Thz  
　　tan（2π-α）= -tanα ;.^m3b6{  
V +x%&|Q5  
　　cot（2π-α）= -cotα 1jnnA_0E  
:u E=I`v+  
　　公式六：  ?O$X@|I  
,v}NyE,F7  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： s8y2 tQ:  
Whw`w==|W|  
　　sin（π/2+α）= cosα ]"v:J`b,  
@h5&,c6  
　　cos（π/2+α）= -sinα )3zg8!BZ  
~@pbJ"q  
　　tan（π/2+α）= -cotα msMPbl$  
QzZn*8  
　　cot（π/2+α）= -tanα 62,H=[tz;  
V@k%0r'.  
　　sin（π/2-α）= cosα .y*yfX  
?Q.p}[$  
　　cos（π/2-α）= sinα WjD`Tp=  
j{2\g|*'=  
　　tan（π/2-α）= cotα /K> E'F&  
wk~v^pWl  
　　cot（π/2-α）= tanα Rvkyzq  
H%|o.Ge  
　　sin（3π/2+α）= -cosα |$O/  
S62dc  
　　cos（3π/2+α）= sinα ]cY`V8  
C7x!01@  
　　tan（3π/2+α）= -cotα GI9 <(% tJ  
[]eI6jaE  
　　cot（3π/2+α）= -tanα eu:* Jew  
2}6xdk2  
　　sin（3π/2-α）= -cosα W{4L$-]-I  
5lA|pw 0  
　　cos（3π/2-α）= -sinα D{A$wt0Y2  
`Qa"24  
　　tan（3π/2-α）= cotα Qa0:MI1  
#K[1iVD  
　　cot（3π/2-α）= tanα *^^Mf1  
bT)BCMfL  
　　(以上k∈Z) ?"VexWf68+  
# m+]1  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 IAN;%$?>  
~} ',A  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = Qq`(,Wxb  
AZRw>Nej-2  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } 7j).6Rt  
H'GHiT  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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