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2009-09-04

　　三角函数

三角函数内容规律 F(S7 [TS  
-Zih@ANe  
　　三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在. E571`y>9o  
Ki,5\rA  
　　1、三角函数本质： $h@5d7&6H  
k P`p7-56  
　　三角函数的本质来源于定义 BjNNY s  
`| j`A+~RF  
　　sinθ=y/ R; cosθ=x/R; tanθ=y/x; cotθ=x/y。 #u ;t cv  
`W\O+_V  
　　深刻理解了这一点，下面所有的三角公式都可以从这里出发推导出来，比如以推导 V}9/Q6Q kn  
=APq.  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB 为例： wbBj`[@|  
%?Fq^2[  
　　推导： z[?VvW'  
KCQA6q3A  
　　首先画单位圆交X轴于C，D，在单位圆上有任意A，B点。角AOD为α，BOD为β，旋转AOB使OB与OD重合，形成新A'OD。 n p5.vY^Mi  
}LW:,F2k  
　　A(cosα,sinα),B(cosβ,sinβ),A'(cos(α-β),sin(α-β)) 4Wn9GL  
<Rt!('!m  
　　OA'=OA=OB=OD=1,D(1,0) =xS-u!$F  
0 q}hKf~  
　　∴[cos(α-β)-1]^2+[sin(α-β)]^2=(cosα-cosβ)^2+(sinα-sinβ)^2 wlGLZ "  
Fd{,m\ Q  
　　和差化积及积化和差用还原法结合上面公式可推出（换(a+b)/2与(a-b)/2） X[}^Vkn  
P#f3ET  
　　[1] :_`6a  
`QOxCiZ  
　　两角和公式 &bxS[)  
%9J 5l.[aW  
　　sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB ennc`/;3o  
Va8 )qQ%  
　　sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB  Jv6M0;Q<6  
'|. e5<   
　　cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB R,/*i Iw  
kje#/$Q2  
　　cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB %8brcV,  
k i,n+QBW  
　　tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) )$Sbj]dw/O  
Rt351cZR  
　　tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) 6HU\d2  
V+F: Rc  
　　cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA)  _(#{z  
vWHTMq5@  
　　cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) * VH+Z"UT  
,#.0Jo  
倍角公式 lr$5{IF  
g\MQ4@;[1  
　　Sin2A=2SinA•CosA *bq?_c  
*UNi&^&  
　　Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 TT oJ!UK  
EN62>$J  
　　tan2A=2tanA/（1-tanA^2） N[@}%]8[  
j|BoPYK  
　　（注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A） ） ]F~iTMB  
[># _D  
三倍角公式 }-gMX6FVp  
bgD!f)3.n  
　　 mz4MtJ<  
an71LWgo  
　　sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) [~-3vb4?  
^aPKLx (4  
　　cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) :^$O:0u8  
Yt` fVY  
　　tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) ~myr79x,$  
v1SqZE}#  
三倍角公式推导 M(_hgIFCv  
Tt3=sU  
　　sin3a 2D/b)0pcP  
&+M W8 +  
　　=sin(2a+a) F]T]@&E  
q.{#'KXi  
　　=sin2acosa+cos2asina Z?ao~?98  
1c[yO6   
　　=2sina(1-sin²a)+(1-2sin²a)sina >~C61%p|  
h^=B@85  
　　=3sina-4sin³a E*$*k  
MxvC :z,yt  
　　cos3a <&<@q]#U  
.V=2sTJ  
　　=cos(2a+a)  [ie=  
`H^O&H  
　　=cos2acosa-sin2asina d}JIYZ  
?NE':Yx3s  
　　=(2cos²a-1)cosa-2(1-sin²a)cosa \^ZA|)%!  
@&]&yaT3  
　　=4cos³a-3cosa d|F5>9}3"  
~@.TMgq;  
　　sin3a=3sina-4sin³a E=jrA-Jw[  
$#8eT  
　　=4sina(3/4-sin²a) [;.9M+BW  
W ."hAm  
　　=4sina[(√3/2)²-sin²a] niMZS[IR8t  
f8:i=<k  
　　=4sina(sin²60°-sin²a) /9r egb'  
!<SZw7)jf  
　　=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina) c6k lt^ZA  
Ccy}D&s]F  
　　=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] x9}aAbNt  
F~N^f)~@  
　　=4sinasin(60°+a)sin(60°-a) qt+8@Q  
)B\ 4W\%  
　　cos3a=4cos³a-3cosa f-?d-YAq  
A1u%B&P ?  
　　=4cosa(cos²a-3/4) ;/f#dTy'  
NM}4V'%y  
　　=4cosa[cos²a-(√3/2)²] MWgl:yQ  
T3/F_94  
　　=4cosa(cos²a-cos²30°) Pq ^/5=  
PZ 5T +8$  
　　=4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) l+~O %+ 3  
mJZRf5c(t  
　　=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]} duwXhALpFg  
j&({6l~Buv  
　　=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) [.slZ?r  
GrI9 &~9gr  
　　=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)] oWb`%Bt  
N&{(b0!  
　　=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] eWbi-|q  
LN.R1=&DE  
　　=4cosacos(60°-a)cos(60°+a) acm&\J$i&  
V8%BSng  
　　上述两式相比可得 Av^\MU=  
56[Qt2!O3  
　　tan3a=tanatan(60°-a)tan(60°+a) TS9$bD@nQ  
9|I>W&0  
半角公式 H1|9j  
} L)6`r,e  
　　tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA); BgId/bzA   
T-}<BtQ  
　　cot(A/2)=sinA/(1-cosA)=(1+cosA)/sinA. ]xn2Rcw  
a ;s}5J  
和差化积 N DsY@e"H  
|*R@rBhX  
　　sinθ+sinφ = 2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] 1*CVg3ue  
#>@&TZ~g  
　　sinθ-sinφ = 2cos[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] gAZ^e D  
&64RCZ  
　　cosθ+cosφ = 2cos[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2] =:e1j5 ;'$  
7\>=u6  
　　cosθ-cosφ = -2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] $L_o) [_Xs  
O"$Ca&ahY  
　　tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) ^zx E$M]  
4hs1i-,gnq  
　　tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) \*b6S{  
U= roh&  
积化和差 7a5^8s  
k/*o-\r  
　　sinαsinβ = -1/2*[cos(α+β)-cos(α-β)] <{6ti  
 _~<Vgovl  
　　cosαcosβ = 1/2*[cos(α+β)+cos(α-β)] 8-O$vi  
zWEIO<o  
　　sinαcosβ = 1/2*[sin(α+β)+sin(α-β)] <CY'p #!NY  
F~;v U\U  
　　cosαsinβ = 1/2*[sin(α+β)-sin(α-β)] C-2#^8. s  
]tm$[FR>D  
诱导公式 D7\'\.  
6'&ZJig j1  
　　sin(-α) = -sinα iJp Ng  
;9xV[coW0  
　　cos(-α) = cosα _Cm9jN=u  
lbA)uwR  
　　sin(π/2-α) = cosα yQ ?*ID3  
UNaA;  
　　cos(π/2-α) = sinα T1ofC+dR  
K\ %$qm  
　　sin(π/2+α) = cosα A/}uY,  
nw5ORVq41  
　　cos(π/2+α) = -sinα TN=u4P6Of  
|%3#T c  
　　sin(π-α) = sinα S-S9E'q  
H9@35U&Z  
　　cos(π-α) = -cosα {H%MP{@  
[)%{[Md  
　　sin(π+α) = -sinα D G%<'"zMY  
je%Y.ZzD  
　　cos(π+α) = -cosα &>xq sA  
^oQ!2loY}  
　　tanA= sinA/cosA 9M gS)H  
0+mZU@#z  
　　tan（π/2＋α）＝－cotα f(XC:hg  
U^`eCRU6nl  
　　tan（π/2－α）＝cotα TKD'l   
OLz TF Z  
　　tan（π－α）＝－tanα |(!{YW+T^&  
c5^ R?A#X]  
　　tan（π＋α）＝tanα 4naKH6<X  
vy(#Gu#  
万能公式 2dk i  
-`F&'XU%  
　　 '^ XCG_>{  
_t^lxa2=G  
其它公式 F(v*wn#hs  
&4d6(S0;  
　　(sinα)^2+(cosα)^2=1 }h20\GJ  
!fs_N Cq  
　　1+(tanα)^2=(secα)^2 mhVkj&*  
$Z#,`9. D  
　　1+(cotα)^2=(cscα)^2 #,)rX>wV  
(>QIAo\r?  
　　证明下面两式,只需将一式,左右同除(sinα)^2,第二个除(cosα)^2即可 -b phx+1  
D#$|L N  
　　对于任意非直角三角形,总有 W[gQkp H=  
K%9-sf,auj  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC |h[56@X  
KNZZdx~`  
　　证: # S%=fq  
1=Cn?): ~  
　　A+B=π-C kM[6oZNaJ  
7Oi$76  
　　tan(A+B)=tan(π-C) !:{f`W{i  
^_{"YQU^6  
　　(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ-tanC)/(1+tanπtanC) Y]KTm?vNp  
k2z5mC4Fh  
　　整理可得 #KIccO  
1Lm-{,`bN  
　　tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC v0s#wz<gS  
.7I,zg<  
　　得证 V /n`HV/  
Ex&>PMiZI  
　　同样可以得证,当x+y+z=nπ(n∈Z)时,该关系式也成立 6-Y q*I[D  
VDs_ )R4;  
其他非重点三角函数 )0;I8LE(  
X<.5Z0  
　　csc(a) = 1/sin(a) +:U7Sg-  
3^0y< =8s  
　　sec(a) = 1/cos(a) uQ-caf{p  
Q?3+_&i  
　　 UQr84  
 EB>X$  
双曲函数 IW,a(6^  
5 "uy!SR  
　　sinh(a) = [e^a-e^(-a)]/2 D }`yz|j  
2M-TJ!c\D  
　　cosh(a) = [e^a+e^(-a)]/2 Yz@`_*  
ae D6VB  
　　tg h(a) = sin h(a)/cos h(a) Y-[1uRNK  
!ZhKt'-  
　　公式一： E16|Y}fYm  
iCC/,_e#4M  
　　设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： 8^T*sc  
#9wyx  
　　sin（2kπ＋α）= sinα 88 ^i(!  
6\Vm +M  
　　cos（2kπ＋α）= cosα cjzh:Hd  
8.`.2@=!  
　　tan（kπ＋α）= tanα LCM(T8F  
iMt tu"O  
　　cot（kπ＋α）= cotα \Wn7DH-:  
nFZ$/D'  
　　公式二： 4HmiPrs  
P6s%t/7"&  
　　设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： ]$K)m:P'  
$ wK_|+&/  
　　sin（π＋α）= -sinα HG~\`2q\/  
nc? E  
　　cos（π＋α）= -cosα 0ywlcvEU7  
p4*AY[z  
　　tan（π＋α）= tanα N+{`H ia  
M_f t#^4 h  
　　cot（π＋α）= cotα N<S6L  
W|j#*@R-0  
　　公式三： =mhV=[#+/  
!"WH)|forF  
　　任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： 9 3$CYj#b  
VtC0[hF3  
　　sin（-α）= -sinα i; e*JUQ5  
d d[ VT  
　　cos（-α）= cosα w6u   
zLo9 {Zv"  
　　tan（-α）= -tanα 9m5H\3Ax  
`7oTje   
　　cot（-α）= -cotα ;thc6J^`  
{RVy- V  
　　公式四： Qz"w|3Id  
tFpVb  
　　利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： [,AQ i 7  
Y]P_banN  
　　sin（π-α）= sinα 1,]*}Sqf8  
H2gt&_mQ  
　　cos（π-α）= -cosα gc}=LB  
G`-61:92  
　　tan（π-α）= -tanα 8 P)(  
2z3H;0+  
　　cot（π-α）= -cotα \L]kY<.  
@8j#kb%  
　　公式五： . 7uM.g  
, bfjJ  
　　利用公式-和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： &oI%w:s  
rCeky#'6  
　　sin（2π-α）= -sinα +G t&Rns,  
"[0/$+b  
　　cos（2π-α）= cosα nkdc w#f2{  
~]&9Dq5M  
　　tan（2π-α）= -tanα ObZY( 4C  
0G 4Pr,   
　　cot（2π-α）= -cotα aIx]FM )rn  
!E= _ iy  
　　公式六： {bT%TV6  
M<ly^H@B  
　　π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： q>zY&;LM  
X|].L_)"`{  
　　sin（π/2+α）= cosα =Eeju\  
~'O7h77S{  
　　cos（π/2+α）= -sinα L wP/  
33Kho  
　　tan（π/2+α）= -cotα r'Mu 'q&K  
z<;I5,uKu  
　　cot（π/2+α）= -tanα 2uC6Lb]/  
R e:l8W  
　　sin（π/2-α）= cosα +?9) I $  
\.0] |  
　　cos（π/2-α）= sinα E iZna9d  
~O E aL4  
　　tan（π/2-α）= cotα %0 I*v  
t}FG~/-Vk  
　　cot（π/2-α）= tanα T\j Mm+$Q  
K6n> ,21  
　　sin（3π/2+α）= -cosα 5LJq*o:l:  
ee*S%*Tz4  
　　cos（3π/2+α）= sinα gs_(Vx(5(r  
W-4M4T $  
　　tan（3π/2+α）= -cotα v~]zg&ik/H  
V%L(n8E(   
　　cot（3π/2+α）= -tanα }nok 5Z1O  
P_ Uq9|-  
　　sin（3π/2-α）= -cosα ou]pg`}  
I#vX5dI4  
　　cos（3π/2-α）= -sinα +e8h~Zx  
.)-7n W:0  
　　tan（3π/2-α）= cotα T0kTGtJg0  
PBJqUrU  
　　cot（3π/2-α）= tanα 3wAZp6[?H_  
g8w.'  
　　(以上k∈Z) ;#2B2  
~Vo;Gj+v  
　　这个物理常用公式我费了半天的劲才输进来,希望对大家有用 ~fz>JCg|  
2By4SlTX  
　　A·sin(ωt+θ)+ B·sin(ωt+φ) = ]89:_^C  
c3q4[RN  
　　√{(A^2 +B^2 +2ABcos(θ-φ)} • sin{ ωt + arcsin[ (A•sinθ+B•sinφ) / √{A^2 +B^2; +2ABcos(θ-φ)} } =pP-2'k  
bg|FEsWN  
　　√表示根号,包括{……}中的内容



迷～一切都是迷～你自己去寻找解迷的钥匙，而这真正的钥匙就是你
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